Vollständige Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion (mit Lösungsweg):

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1.) (Alle reellen Zahlen erlaubt)

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2.)
2.1) Achensymmetrie vorhanden?

Untersuchen, ob
gilt

--> Das heißt jedes x in der Funktion mit -x erstetzen:

<=>

und das sieht nicht nach f(x) , also der Originalen Ausgangsfunktion aus.

bzw.

=> keine Achsensymmetrie erkennbar !

2.2) Punktsymmetrie vorhanden?

Gucken, ob
gilt (wieder jedes x durch -x austauschen) :

sieht das wie -f(x) aus? Also wie ?

Nein. Also ||Klammer auflösen

<=>

bzw. ==> Keine Punktsymmetrie erkennbar.

=>Keine Symmetrie erkennbar !

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3.)

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4.)

Erste Ableitung : f'(x) mit Summenregel (wegen Minuszeichen) und Kettenregel (wegen e^x ) .

Summenregel:






zweite Ableitung:


Dritte Ableitung : f'''(x) wieder mit der Kettenregel , hier ganz leicht, da 1 die

innere Ableitung ist und e die äußere :

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5.)

Bedingung:

<=> |

und das ist eine falsche Aussage ,

weil immer ungleich x ist.



Alternativ kann man den Logarithmus anwenden: <=> , falsch, lnx ist ungleich x !

Das bedeutet es gibt in diesem Fall keine Nullstellen.

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5.)

Notwendige Bedingung:

Hinreichende Bedingung zusätzlich:



<=> |

,was will ich eigentlich? Genau die Lösung von x rausbekommen,

deshalb wende ich den Logarithmus Naturalis an ... wird bei e-Funktionen

immer angewendet( wenn nötig):
| ln auf beiden Seiten

|| Achtung , lauter Sonderregeln hier:

und

=>mögliches Extrema bei x=0



<=>

So, nun das mögliche Extema 0 für alle x einsetzen:



Raus kommt: -1 und das ist kleiner als 0 , deshalb gibt es an dieser

Stelle ein relatives Maximum !

Um die zweite Kordinate (y) herauszubekommen, setze ich 0 in die Ausgangsfunktion ein:

--> das ist meine y-Koordinate

Also : relatives Maximum bei => Hochpunkt

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6.)

Notwendige Bedingung:

Hinreichende Bed. zusätzlich:



<=> falsche Aussage , -e^x ist niemals 0

=> Keine Wendestellen !

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7.)