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Mathematik - Seite [2]
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e-Funktion ableiten (ausführliche Beschreibung)

Gegeben ist die Funktion:
f(x)= e^-x*(x^2-x-2) oder

Um abzuleiten brauchen wir die Ketten -und Produktregel.

Kettenregel (innere mal äußere Ableitung) für :

Allgemeine Kettenregel



Ableitung davon:

Nun angewendet auf : e ist die äußere Ableitung und -x die innere Ableitung.

Hierbei muss man wissen, dass die Ableitung von e immer wieder e ist.

Nach der oben genannten Formel folgt :

weil die Ableitung von -x ist -1 . Und das wurde nach vorne, vor

dem geholt , sodass dort steht:

und das miteinander multipliziert ergibt wie schon gesagt



jetzt müssen wir die Produktformel anwenden, da zwei Variablen vorhanden sind

und miteinander multipliziert werden, wie man hier sieht:

In anderen Worten: ein x steht vor dem

Malzeichen und ein x (oder mehr) dahinter in Klammern
Die allgemeine Produktformel:





u'(x)ist hier : -e^-x , haben wir oben berechnet bzw. abgeleitet

v(x) ist hier: x^2-x-2

u(x) ist hier: e^{-x}

v'(x) ist hier:
, (hier normale Ableitungsregel angewendet f'(x)=n*a^{n-1}).


So jetzt nach obigen produktregel zusammengesetzt:

f'(x)=-e^{-x} * (x^2-x-2) + e^{-x}*(2x-1)


So bei solchen E-Funktion Ableitungen kann man bei diesem Schritt (fast) immer e, (hier:e^{-x} ) zusammenfassen:

ausführlich: -e^{-x} * (x^2-x-2) + e^{-x}*(2x-1)

= e^{-x} * (-x^2+x+2) + e^{-x}*(2x-1) ... um das MINUS vor dem e wegzubekommen wurde die klammer mit -1 multipliziert

= e^{-x} * (-x^2+x+2+2x-1) ||zusammenfassen (x+2x = 3x und 2-1=1)

= e^{-x}*(-x^2+3x+1)



e^{-x}*(-x^2+3x+1) ist die Ableitung der Gleichung !
Beispiel 1 in Kurzform:













2.Beispiel




Ableiten mit Produkt -und Kettenformel:

Produktformel :











Zusammenfassen von :

=

=

=


= = f'(x)